原文链接：http://www.mydrs.org/program/list.asp?id=301
[问题描述]对于给定的正整数N，判断是否存在正整数E，使
的前若干位与N相同，且N的长度小于的长度的一半。若存在，求出最小的E。[分析]
我们先证明"no power of 2"是不会出现的。
引理
如果a是无理数，那么对任意的e>0和b，存在无穷多的整数m, n使得
。该结论可由"丢番图逼近论"证明得到．证明
由引理，
，满足该式的m, n无穷多．
得到
化简得
于是
这里
开头就是N．证毕．
受上面证明过程的启发，我们得到了这题的如下解法：
设N的位数为L，则
．因为满足要求的E总存在，可设
，所以
．设
， 于是
．要使整数E存在，必须
．所以我们从L开始枚举K，直到
．于是所求的
．[说明]
该题这样在理论上是可解的，但实际上受编程语言的精度限制，并不是总能求得解。所以也可以枚举E，但高精度计算时只要算前若干位就够了。这点留给各位继续思考。
作者：李翼
来源：福建师大附中
时间：2001-12-21
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